「にせ科学」ではないのですが、「にせものだ」と言うかたが
ときどきいらっしゃるので、お話したいと思います。

小学校の算数の本で、

(1)　　1/3 = 0.333...

という等式が出て来て、はじめは違和感があったかたも、
いずれ慣れてしまうと思います。
ところがこの両辺を3倍した

(2)　　1 = 0.999...

になると、オトナになっても納得いかないかたは、結構いるみたいです。
「9」をいくら並べても、1にならないからおかしいと言うのです。
ウェブでも物議をかもしているのを、ときどき見かけます。

0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...という無限小数は、
初項が0.9、公比が0.1の無限等比級数の和を表します。
よって

(3)　　0.999... = 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1

となって、(2)式はどこも間違っていないことがわかります。


(2)式が納得いかない人は、「...」を、
「9」をどんどん並べるプロセスと、意識しているのかもしれないです。
そのように「...」を約束して使うやりかたもあります。
しかしそのときは、(1)式も書けなくなります。
左辺の1/3は有限の確定値ですから、それが「3」を並べるプロセスと
等しいことなどあるはずないからです。

(1)のような式が書けないと、なにかと不便です。
そのためには、最後に「...」がついたものは、
「3」を無限に並べた極限値を表すと定義することになります。
（というか、(1)を書いた時点で、おのずとそう定義されます。）
「...」を極限値と約束したら、(3)式の理由で、
(2)式も正しいと受け入れざるをえないです。

（1=0.999...は、数学は「形式主義」を取っていて、
理論的に矛盾がなければ、どのように定義を決めたり、
公理系を設定してもよいが、決めかたにはうまい下手があり、
使いにくい定義や公理系はいずれ使われなくなる、という、
現代数学のスタンスにちょっとだけ触れられて、
しばし教育的と思っているのは、わたしだけかな？）

ところで、無限数列x(n)がaに収束するとは、
aとの「誤差」εをいくら小さく設定しても、
ある項番号nからさきのx(n)は、かならずaとの「誤差」は
ε以下になる、ということでした。

つまり任意のε > 0に対して、いつもあるnが存在して、
k > n のときすべて|x(k) - a| < εになる、ということです。


(2)式のケースでは、

　　a = 1
　　x(1) = 0.9, x(2) = 0.99, ... , x(n) = 0.99...9(9がn桁)。

ですが、ε = 10-nとすると、9がn個ならんだx(n)以降は、
1とx(n)の差はε以下になっています。

したがって、任意のε > 0 に対して、n = - log10 ε が存在して、
|x(n) - 1| < εになるので、

　　n → ∞ で x(n) → 1

というわけです。


つまり、「1との差を10-n以下にしたければ、
0.999...と9をn個以上並べることができる」
ということが、1=0.999...を証明していることになります。

この証明なら、「...」を9を並べるプロセスと
感じてしまう人でも、問題ないでしょう？
nは任意の有限の値で、無限大にしていないですし、
x(n)は1と異なる値ですからね。

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